已知{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn-Sn-1=2SnSn-1(n>=2).(1)数列{1/Sn}是否为等差数列？证明你的结论。

（2）求数列{an}的通项公式

证明与解答
（1）是等差数列
Sn-S(n-1)=2SnS(n-1)
两边同时除以SnS(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn=2
所以 1/Sn-1/S(n-1)=-2
所以 {1/Sn}是一个等差数列，公差为-2，首项为1
（2）1/Sn=1-2(n-1)=-2n+3
Sn=1/(3-2n)
n=1,a1=S1=1
n≥2，an=Sn-S(n-1)=1/(3-2n)-1/(5-2n)=2/[(3-2n)(5-2n)]
an=2/(4n²-16n+15)

所以 an={1 n=1
{ 2/(4n²-16n+15) n≥2

所以an+2SnSn-1=Sn-Sn-1+2SnSn-1=0, 1/Sn-1 -1/Sn+2=0 , 1/Sn-1/Sn-1=2, 由于S1=a1=1/2,1/S1=2所以1/Sn=2+(n-1)*2=2n，

Sn-S(n-1)=2SnS(n-1) 两边同除以SnS(n-1)得： 1/S(n-1) -1/Sn=2 因此，数列{1/Sn}为等差数列 令bn=1/Sn d=bn-b(n-1)=-2 b1=1/s1=1/a1=1 bn=b1+(n-1)d=3-2n Sn=1/(3-2n) an=Sn-S(n-1) =1/(3-2n)-1/[3-2(n-1)] =-2/(4n^2-15n+15)

Sn-S(n-1)=2SnS(n-1) 1/S(n-1) - 1/Sn = 2 => {1/Sn}是等差数列 1/S(n-1) - 1/Sn = 2 (1/S1-1/S2)+ ... + (1/S(n-1) - 1/Sn) = 2(n-1) 1/S1-1/Sn = 2(n-1) 1-1/Sn =2(n-1) 1/Sn = 3-2n Sn = 1/(3-2n) S(n-1) = 1/(3-2(n-1)) = 1/(5-2n) Sn-S(n-1) = 1/(3-2n) -1/(5-2n) an =1/(3-2n) -1/(5-2n)

(1)数列{1/Sn}是等差数列, ∵Sn-Sn-1=2SnSn-1(n>=2) 两边同时除以SnS(n-1) ∴1/S(n-1)-1/Sn=2 ∴1/Sn-1/S(n-1)=-2 ∴数列{1/Sn}是等差数列,公比为-2 （2）由（1）知 1/S1=1/a1=1 ∴ 1/Sn=1/S1-2(n-1)=3-2n Sn=1/(3-2n) n≥2时，an=Sn-S(n-1)=1/(3-2n)-1/(5-2n) =2/[(2n-3)(2n-5)] n=1时，代入上式a1=2/3不成立 ∴数列{an}的通项公式为分段形式： an={1 , (n=1) {2/[(2n-3)(2n-5)] ,(n≥2)

（1）易得sn不等于0，由sn-sn-1=2snsn-1，都除以snsn-1，可以得到1/sn-1/sn-1=-2

所以1/sn为等差数列

（2）1/s1=1/a1=1

利用等差数列求通项的公式求出1/sn=-2n+3，即sn=1/（-2n+3）

an=sn-sn-1=2/(-2n+5)(-2n+3)

今后做数列题的时候要注意第一二问的关系，一般第二问都要用到第一问的结论，通过第一问想第二问的思路对你今后的学习有帮助。

以后多多支持啊！哈哈！