证明 向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”

证明 向量e1、e2、e3共面的充要条件是“存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”

1.若向量e1、e2、e3共面，
(i)其中至少有两个不共线，不妨设e1,e2不共线，则e1,e2线性无关，e3可用e1,e2线性表示，即存在实数λ，μ，使得e3=λe1+μe2,于是
λe1+μe2-e3=0.
即存在三个不全为零的实数λ，μ，υ=-1，使得
λe1+μe2+υe3=0”。
(ii)若e1,e2,e3都共线，则其中至少有一个不为0，不妨设e1≠0，则存在实数λ，使得e2=λe1.于是λe1-e2=0,即存在三个不全为零的实数λ，μ=-1，υ=0，使得λe1+μe2+υe3=0”.
2.存在三个不全为零的实数λ，μ，υ，使得λe1+μe2+υe3=0”，不妨设λ≠0，
就有e1=(-μ/λ)e2+(-υ/λ)e3,
于是e1,e2,e3共面。

我用a,b,c来表示那三个不为 0的实数，证明：向量e1e2共线的充要条件是e1=-de2(d表示任何数）d可以＝b/a即ae1=-be2.同理ae1=-ce3,be2=-ce3,3个式子相加所以2(ae1+be2+ce3)=0