三角形ABC内切圆圆心为I，外接圆圆心为O，且AI垂直于IO，求证：AB AC=2BC。
答案:1 悬赏:70
解决时间 2021-11-08 07:25
- 提问者网友：雾里闻花香
- 2021-11-07 09:01
三角形ABC内切圆圆心为I，外接圆圆心为O，且AI垂直于IO，求证：AB AC=2BC。
最佳答案
- 二级知识专家网友：西岸风
- 2021-11-07 09:25
连接AI并延长交外接圆于D
易知AI=ID=2Rsin(A/2)
由欧拉公式
IO^2=R^2-2Rr=R^2-AI^2
2Rsin(A/2)=(2Rr)^0.5
sin(A/2)=(r/2R)^0.5
cosA=(R-r)/R
1-cosA=r/R
又r=(b+c-a)tan(A/2)=(b+c-a)(1-cosA)/2sinA=r(b+c-a)/(2RsinA)=r(b+c-a)/a
所以 b+c=2a
即 AC+AB=2BC
易知AI=ID=2Rsin(A/2)
由欧拉公式
IO^2=R^2-2Rr=R^2-AI^2
2Rsin(A/2)=(2Rr)^0.5
sin(A/2)=(r/2R)^0.5
cosA=(R-r)/R
1-cosA=r/R
又r=(b+c-a)tan(A/2)=(b+c-a)(1-cosA)/2sinA=r(b+c-a)/(2RsinA)=r(b+c-a)/a
所以 b+c=2a
即 AC+AB=2BC
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