若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似
答案:2 悬赏:60
解决时间 2021-03-14 23:14
- 提问者网友：霸道又专情♚
- 2021-03-14 18:25
线代
最佳答案
- 二级知识专家网友：甜野猫
- 2021-03-14 19:53
题：若n阶矩阵A与B相似,证明它们的特征矩阵相似
解：以下用E表示单位矩阵(幺阵)，用E/X表示矩阵X的逆阵。
题意即：
若存在可逆矩阵P，使得 E/P*A*P=B，
则存在可逆矩阵Q，使得 E/Q*(λE-A)*Q= (λE-B)
证：取Q为P即是。好证极了。略。
还是写一下吧。
证：E/P*A*P=B，
故 E/P*(λE-A)*P= E/PλEP-E/P*A*P=E/PλP-B=E/P*P*λE-B=λE-B
故λE-A 与λE-B 相似。
解：以下用E表示单位矩阵(幺阵)，用E/X表示矩阵X的逆阵。
题意即：
若存在可逆矩阵P，使得 E/P*A*P=B，
则存在可逆矩阵Q，使得 E/Q*(λE-A)*Q= (λE-B)
证：取Q为P即是。好证极了。略。
还是写一下吧。
证：E/P*A*P=B，
故 E/P*(λE-A)*P= E/PλEP-E/P*A*P=E/PλP-B=E/P*P*λE-B=λE-B
故λE-A 与λE-B 相似。
全部回答
- 1楼网友：放肆的依賴
- 2021-03-14 19:59
证明：
a、b相似，则存在可逆矩阵t，使得
a=t^{-1}bt
从而
det(a-λe)
=det(t^{-1}bt-λe)
=det(t^{-1}bt-λt^{-1}t)
=det(t^{-1}(b-λe)t)
=det(b-λe)
因此a、b有相同特征值，所以有相同特征多项式
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