若a+2b+3c=12,且a²+b²+c²=ab+bc+ca,则a+b²+c³=_____ .

这是初一年级 “乘法共识的再认识---因式分解（二）

a²+b²+c²=ab+bc+ca
a²+b²+c²-ab-bc-ac=0
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0，相加等于0，若有一个大于0，则至少有一个小于0，不成立。
所以三个都等于0所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c，c=a
所以a=b=c
代入a+2b+3c=12
a+2a+3a=12
6a=12
a=2
a=b=c=2
a+b²+c³=2+4+8=14

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² =2*(a²+b²+c²-ab-bc-ca) =2*0 =0 所以a-b=0,b-c=0,c-a=0 所以a=b=c a+2a+3a=12 所以a=b=c=2 a+b²+c³=2+4+8=14

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0 (a^2-2ab+b^2)+(b^2-bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0 (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0 (a-b)^2≥0 (b-c)^2≥0 (c-a)^2≥0 即 (a-b)^2=0 (b-c)^2=0 (c-a)^2=0 所以 a-b=0, a=b b-c=0,b=c 所以a=b=c a+2b+3c=12 所以a+2a+3a=6a=12 a=b=c=2 a+b^2+c^3=2+2^2+2^3=14

14 解：a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca 2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca (a-b)^2+(c-a)^2+(b-c)^2=0 a=b=c; a+2b+3c=12 a=b=c=2, a+b^2+c^3=14.

a²+b²+c²=ab+bc+ca的两边同时*2就得到了 2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca，移项得到 2a²+2b²+2c²-（2ab+2bc+2ca）=0，化简得到 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0,得到了 a=b=c,则 a=2,b=2,c=2 所以a+b²+c³=2+2²+2³=14

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
a-b=0 a=b
b-c=0 b=c
c-a=0 c=a
a=b=c
a+2b+3c=6a=12
a=b=c=2
a+b^2+c^3=2+2^2+2^3=14