甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有n个白球，m个黑球，（m≠n），现从两袋中各摸一个球，A：“两球同色

甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有n个白球，m个黑球，（m≠n），现从两袋中各摸一个球，A：“两球同色”，B：“两球异色”，求证：P（A）＜P（B）．

以A1表示取出的都是白球．A2表示取出的都是黑球，则
∵A1，A2互斥且A=A1∪A2，
∴P（A）=P（A1）+P（A2）=
mn
(m+n)2 +
nm
(m+n)2 =
2mn
(m+n)2 ．
以B1表示甲袋取出白球乙袋取出黑球，B2表示甲袋取出黑球乙袋取出白球，
∵B1、B2互斥且B=B1∪B2，
∴P（B）=P（B1）+P（B2）=
m2
(m+n)2 +
n2
(m+n)2 =
m2+n2
(m+n)2 ．
由于m≠n，故2mn＜m2+n2．
∴P（A）＜P（B）．

p(a)≤p(b)，当且仅当“m=n”时取等号 基本事件总数为(m+n) 2 ，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”， 则p(a)= ， “两球异色”可分为“一白一黑”或“一黑一白”， 则p(b)= . ∵p(b)-p(a)= ≥0， ∴p(a)≤p(b)，当且仅当“m=n”时取等号.