已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）． （Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）在抛物线C上是否存在点...

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）在抛物线C上是否存在点P，使得过点P的直线交C于另一点Q，满足PF⊥QF，且PQ与C在点P处的切线垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

（Ⅰ）设抛物线C的方程是x2=ay，
则a4=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x2=4y．
（Ⅱ）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则抛物线C在点P处的切线方程是y=x12x-y1，
直线PQ的方程是y=-2x1x+2+y1．
将上式代入抛物线C的方程，得x2+8x1x-4(2+y1)=0，
故x1+x2=-8x1，x1x2=-8-4y1，
所以x2=-8x1-x1，y2=4y1+y1+4．
而FP→=（x1，y1-1），FQ→=（x2，y2-1），FP→×FQ→=x1x2+（y1-1）（y2-1）
=x1x2+y1y2-（y1+y2）+1
=-4（2+y1）+y1（4y1+y1+4）-（4y1+2y1+4）+1
=y12-2y1-4y1-7
=（y12+2y1+1）-4（1y1+y1+2）
=（y1+1）2-4(y1+1)2y1
=(y1-4)(y1+1)2y1=0，
故y1=4，此时，点P的坐标是（±4，4）．
经检验，符合题意．
所以，满足条件的点P存在，其坐标为P（±4，4）．

（ⅰ）设抛物线c的方程是x2=ay， 则 a 4 ＝1， 即a=4． 故所求抛物线c的方程为x2=4y． （ⅱ）解：设p（x1，y1），q（x2，y2）， 则抛物线c在点p处的切线方程是y＝ x1 2 x?y1， 直线pq的方程是y＝? 2 x1 x+2+y1． 将上式代入抛物线c的方程，得x2+ 8 x1 x?4(2+y1)＝0， 故x1+x2=? 8 x1 ，x1x2=-8-4y1， 所以x2=? 8 x1 -x1，y2= 4 y1 +y1+4． 而 fp =（x1，y1-1）， fq =（x2，y2-1）， fp × fq =x1x2+（y1-1）（y2-1） =x1x2+y1y2-（y1+y2）+1 =-4（2+y1）+y1（ 4 y1 +y1+4）-（ 4 y1 +2y1+4）+1 =y12-2y1- 4 y1 -7 =（y12+2y1+1）-4（ 1 y1 +y1+2） =（y1+1）2- 4(y1+1)2 y1 = (y1?4)(y1+1)2 y1 =0， 故y1=4，此时，点p的坐标是（±4，4）． 经检验，符合题意． 所以，满足条件的点p存在，其坐标为p（±4，4）．