为什么第一类间断点没有原函数，第二类间断点可能有

为什么第一类间断点没有原函数，第二类间断点可能有

若积分后在间断点处左右极限存在时，可能有原函数。举例说明如下：
设F(x)=xsin(1/x)，x≠0 ；x=0时，F(x)=0。 则f(x)=F'(x)=sin(1/x)-(1/x)cos(1/x),x≠0
而x=0时，F'(x)不存在 。易知x=0为f(x)的第二类间断点，但f(x)有原函数F(x)。

这的确是很容易混淆的两个概念，其实这二者之间没有什么关系，也就是说可积可能原函数不是初等函数，原函数存在也可能不可积。例如sinx/x，它有第一类间断点，故原函数不是初等函数，但它在r上是可积的。再如1/x的原函数存在且为初等函数lnx，但其在(0,1)上不可积（包括广义积分）。另外需要注意的是，函数有原函数和函数的原函数是初等函数也是两个不同的概念，只要连续就有原函数，但其原函数不一定是初等函数，还是刚才的f(x)=sinx/x，补充定义f(0)=0后，它是连续的，有原函数，但原函数不是初等函数。含有第二类间断点的函数，常义积分（就是一般的定积分）一定是不存在的，因为常义可积的必要条件是函数有界，但是其广义积分可能存在。