锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>2
答案:3 悬赏:20
解决时间 2021-02-14 06:42
- 提问者网友:一人心
- 2021-02-13 11:42
锐角三角形ABC中,求证sinA+sinB+sinC>2
最佳答案
- 二级知识专家网友:狠傷凤凰
- 2021-02-13 12:26
先证明锐角三角形中sinA+sinB+sinC>1+cosA+cosB+cosC
再证明cosA+cosB+cosC>1
过程:(1)1+cosA+cosB+cosC-sinA+sinB+sinC
=2cos2(A/2)+2cos((B+C)/2)·cos((B-C)/2)-2(sin(A/2)·cos(A/2)+sin((B+C)/2)·cos((B-C)/2))
=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(cos((B+C)/2)-sin((B+C)/2))]
=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(sin(A/2)-cos(A/2))]
=2(cos(A/2)-sin(A/2))·(cos(A/2)-cos((B-C)/2))
=-4(cos(A/2)-sin(A/2))·sin((A+B-C)/4)·sin((A+C-B)/4)..........①
由于A,B,C∈(0,π/2),所以0<(A/2)<π/4,0<(A+B-C)/4<π/4,0<(A+C-B)/4<π/4
所以①式<0
∴sinA+sinB+sinC>1+cosA+cosB+cosC
(2)cosA+cosB+cosC=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2cos2((A+B)/2)+1
=2cos((A+B)/2)(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)+1
=4cos((A+B)/2)sin(A/2)sin(B/2)+1
=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
>1
综合(1)(2)知锐角三角形中sinA+sinB+sinC>2
再证明cosA+cosB+cosC>1
过程:(1)1+cosA+cosB+cosC-sinA+sinB+sinC
=2cos2(A/2)+2cos((B+C)/2)·cos((B-C)/2)-2(sin(A/2)·cos(A/2)+sin((B+C)/2)·cos((B-C)/2))
=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(cos((B+C)/2)-sin((B+C)/2))]
=2[cos(A/2)·(cos(A/2)-sin(A/2))+cos((B-C)/2)·(sin(A/2)-cos(A/2))]
=2(cos(A/2)-sin(A/2))·(cos(A/2)-cos((B-C)/2))
=-4(cos(A/2)-sin(A/2))·sin((A+B-C)/4)·sin((A+C-B)/4)..........①
由于A,B,C∈(0,π/2),所以0<(A/2)<π/4,0<(A+B-C)/4<π/4,0<(A+C-B)/4<π/4
所以①式<0
∴sinA+sinB+sinC>1+cosA+cosB+cosC
(2)cosA+cosB+cosC=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2cos2((A+B)/2)+1
=2cos((A+B)/2)(cos((A-B)/2)-cos((A+B)/2)+1
=4cos((A+B)/2)sin(A/2)sin(B/2)+1
=1+4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
>1
综合(1)(2)知锐角三角形中sinA+sinB+sinC>2
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- 1楼网友:年轻没有失败
- 2021-02-13 13:45
因为是锐角
所以:0<A<90
0<B<90
0<c<90
然后画三个角在同一单位圆中的图象一比可知
sinA+sinB+sinC>2
- 2楼网友:傲娇菇凉
- 2021-02-13 13:37
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sin(π/2-α)=cosα
所以所证不等式转化为:
[sina-sina(π/2-a)]+[sinb-sina(π/2-b)]+[sinc-sina(π/2-c)]>0
2cosπ/4[sin(a-π/4)+sin(b-π/4)+sin(c-π/4)]>0
由于是锐角三角形,a-π/4,b-π/4,c-π/4中最多只有一个小于零。
不妨设c-π/4<0,c>0,那么0>c-π/4>-π/4,0>sin(c-π/4)>-sinπ/4.
而剩下的两个角中,一定有一个大于π/4,所以
sin(a-π/4)+sin(b-π/4)+sin(c-π/4)>0
2cosπ/4>0
故而
2cosπ/4[sin(a-π/4)+sin(b-π/4)+sin(c-π/4)]>0
原不等式得证。
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