△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c面积为S，①若向量AB•AC=2√3S，求A的值

△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c面积为S，①若向量AB•AC=2√3S，求A的值

(1)
AB.AC =2√3S

bc .cosA = 2√3S
(1/2)bc sinA .(2cotA) = 2√3S
2S . cotA = 2√3S
cotA = √3
A =π/6

(2)
c=1
tanA:tanB:tanC=1:2:3

=> tanA = k , tanB = 2k, tanC =3k

tanC = -tan(A+B)
= -(tanA+tanB)/(1- tanA.tanB)
3k = -(3k)/(1-2k^2)
1-2k^2 =-1
k= 1

tanB = 2
sinB = 2/√5

tanC = 3
sinC = 3/√10

c/sinC = b/sinB
1/( 3/√10) = b/(2/√5)
b = (√10/3)(2/√5)
= √2/6

解：因为ab向量×ac向量=(8/3)*s△abc 所以c*b*cosa=(8/3)*(1/2)*b*c*sina 即cosa=(4/3)*sina 则tana=sina/cosa=3/4 可知角a是锐角，则由sina²+cos²a=1可得： sina=3/5，cosa=4/5 （1）因为b+c=180°-a，且cos2a=1-2sin²a=1-2*(9/25)=7/25 所以：sin²[(b+c)/2]+cos2a =sin²(90°-a/2)+(7/25) =cos²(a/2)+(7/25) =(1+cosa)/2 +(7/25) =(9/10)+(7/25) =59/50 （2）若b=2，s△abc=(1/2)*b*c*sina=3，则： (1/2)*2*c*(3/5)=3 解得c=5 则由余弦定理可得： a²=b²+c²-2bc*cosa =4+25-2*2*5*(4/5) =13 所以解得a=√13