求矩阵(1 3 -1,0 -1 1,0 0 2)全部特征向量

求矩阵(1 3 -1,0 -1 1,0 0 2)全部特征向量

设特征值为λ，那么得到
1-λ 3 -1
0 -1-λ 1
0 0 2-λ
=0，即(1-λ)(-1-λ)(2-λ)=0
得到λ=1，2或-1
λ=1时，A-E=
0 3 -1
0 -2 1
0 0 1
~
0 1 0
0 0 1
0 0 0 得到特征向量(1,0,0)^T
λ=2时，A-2E=
-1 3 -1
0 -3 1
0 0 0 r1+r2,r1*(-1),r2*(-1)
~
1 0 0
0 3 -1
0 0 0 得到特征向量(0,1,3)^T
λ= -1时，A+E=
2 3 -1
0 0 1
0 0 3 r1+r2,r3-3r2
～
2 3 0
0 0 1
0 0 0 得到特征向量(3,-2,0)^T

|a-λe|= 1-λ 0 -1 0 1-λ 0 -1 0 1-λ = (1-λ) * 1-λ -1 -1 1-λ = -λ(1-λ)(2-λ) 所以 a 的特征值为 0,1,2 ax=0 的基础解系为 a1=(1,0,1)^t, 所以a的属于特征值0的全部特征向量为 k1a1, k1≠0 (a-e)x=0 的基础解系为 a2=(0,1,0)^t, 所以a的属于特征值1的全部特征向量为 k2a2, k2≠0 (a-2e)x=0 的基础解系为 a3=(1,0,-1)^t, 所以a的属于特征值2的全部特征向量为 k3a3, k3≠0