为什么复合函数的极限运算法则有g（x）不=u。 而复合函数的连续性就没有这个条件 这两个定理有什么

为什么复合函数的极限运算法则有g（x）不=u。 而复合函数的连续性就没有这个条件 这两个定理有什么

设f(u)当u=0时,f(u)=0,当u≠0时,f(u)=1,又g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）

显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限.

因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.

这样在0的任意小的去心邻域内,f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到,f(g(x))在x=0处没有极限.

所以复合函数的极限定义该限制g(x)≠u。

扩展资料：
复合函数求极限，先对内层函数求得x0处的极限u0，再求外层函数在u0处的极限。
这给求复杂函数的极限提供了一个途径：先把复杂函数分解成2层(甚至多层)复合函数，只要各层函数都满足定理条件，则可由内而外逐次求极限。
复合函数的连续性是指：u在x0连续，y在a连续 则复合函数y（u）在点xo连续。最普遍与直接的应用就是把极限取进去。把求复合函数极限的问题转化为求复合函数在某点值的问题。

极限的话，一般是看去心邻域中的过程。就比如说示性函数，在x<0为0，在x>=0为1，则在0点既有左极限又有右极限。和点的值没有关系。
现在我们要看复合函数f(g(x))在x0的极限行为，举个例子，我们就取g为上文的示性函数。那么，x从负半轴趋向于0，那么g趋向于0，若是g取到0，g在0点的函数值为1。然后极限性就不是原来的极限性了。
至于连续性，连续性是看包含心的邻域的过程，因此就没什么忌讳了。
追问：就是说极限是逼近，
而连续是必须取点。
还是不懂，极限直接取空心领域不就好了为什么非要强调g（x）不等于u。
追答：我举得例子你有没有看懂啊。虽然你的x是取得空心邻域，但是经过g第一步复合之后，可能就跳到g的不连续的另一端去了。然后相对于f来说，你取得x诱导的g(x)就不是f的u的去心邻域了。一定要是f的u点去心邻域才行！所以g的函数值不能取到u！
追问：不是应该连续的定义比极限要求多吗，为什么极限要多个不等于u。
追答：连续确实比极限要求多。
但是，相关定理是这么说的，如果f在u有极限过程，g在x有极限过程，趋于u，不等于u则复合函数在x有极限，为f(u)
有关连续是如果f，g都连续。则复合在x连续。
注意条件不同！所以不是有关极限的多个不等于u就好像条件多了，其实是下面的条件更强！
追问：如果等于u。那么极限不是也取到吗？，书上为什么一定要写不等于u。
追答：算了，你仔细看看下面那个人举的例子和画的图吧。我觉得他说的很清楚了。我只能口头说明一下：虽然你的x是取得空心邻域，但是经过g第一步复合之后，可能就跳到g的不连续的另一端去了。然后相对于f来说，你取得x诱导的g(x)就不是f的u的去心邻域了。一定要是f的u点去心邻域才行！所以g的函数值不能取到u！
请注意好，连续是对x而言的。复合了一次
追问：?_?

数列极限的定义里没有要求f(u0)
有定义，就是说f(x)定义域不一定要包含u0。如果g(x)=u0,则复合函数不一定有意义。因为f(u0)不一定有意义。

我从别处看来的
设f(u)当u=0时,f(u)=0,当u≠0时,f(u)=1,又g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）
显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限.
因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0.
这样在0的任意小的去心邻域内,f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到,f(g(x))在x=0处没有极限.
所以复合函数的极限定义该限制g(x)≠u。.

设f(u)当u=0时,f(u)=0,当u≠0时,f(u)=1,又g(x)=x*sin(1/x)（x≠0）显然有lim(x->0)g(x)=0,lim(u->0)f(u)=1,但是f(g(x))在x=0处没有极限，因为在0的任意小的去心邻域内都有存在ξ,使得g(ξ)=0。
这样在0的任意小的去心邻域内,f(g(x))=0和f(g(x))=1都可以取到,f(g(x))在x=0处没有极限，所以复合函数的极限定义该限制g(x)≠u。

扩展资料：
若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R的值域；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
参考资料：百度百科——极限