在边长为1等边三角形ABC中心P，连接AP，BP，CP。求AP，BP，CP的长度。要理由

在边长为1等边三角形ABC中心P，连接AP，BP，CP。求AP，BP，CP的长度。要理由

可以先作一个外接圆延长AP交BC于D，因为是等边三角形，P是中心，则可证明AD垂直BC，∠PBD=30°，在直角三角形PBD中，BD=BC/2=1/2，cos∠PBD=BD/BP=cos30°=√3/2，则BP=（1/2）/(√3/2)=√3/3，类似可求AP=CP=BP=√3/3.

因为是等边三角形，所以中心既是角平分线的交点又是垂直平分线的交点，过点P做PD垂直BC，垂足为D，则在直角三角形PDB中，角PBD=30°，所以PD=1/2BD=1/4再由勾股定理可求得PB²=PD²+BD²=5/16，PB等于四分之根号5，同理可得AP=BP=CP等于四分之根号5

将△cpb绕点b逆时针旋转60°得△abp′ 连接pp′ ∴bp′=bp,∠p′bp=60°,∠ap′b=∠cpb=120°,cp=cp′ ∴△bp′p是等边三角形 ∴∠bpp′=60° ∵∠apc=150°,∠bpc=120° ∴∠apb=90° ∴∠app′=∠apb-∠bpp′          =90°-60°          =30° ∵四边形ap′bp内角度数和为360° ∴∠p′ap=90° 在rt△ap′p中：    pp′=2ap′        =2cp        =20 根据勾股定理得： ap²=√（p′p²-pa²）----------要把括号里的数全根号起来    =10√3 ∵△bpp′是等边三角形 ∴bp=pp′=20 在rt△abp中： ab=√(ap²+bp²)   =10√7