求证sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb 请配图说明

求证sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb 请配图说明

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB证明
如图
我们先来证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
在标准圆中.AB为直径.长度为1  由圆的性质可知角ADB和角ACB为90度.另做一条垂直线CE于AD上.
令角A为角BAC
角B为角DAC
则角(A-B)为角BAD
证明如下:
cos(A-B)=AD/AB=AD  ①cosA=AC/AB=AC  ②sinA=BC/AB=BC  ③cosB=AE/AC   ④sinB=CE/AC
联立①③可知  cosB=AE/cosA  即cosAcosB=AE.
所以要证明cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB即要证明AD=AE+sinAsinB  
又AD=AE+ED  即只要证明sinAsinB=ED即可
即要证明BC*CE/AC=ED
即要证明CE/AC=ED/BC
注意到三角形CEF相似于三角形BDF(三个角相同),则可知道ED/BC=EF/CF(相似三角形定理)
所以要证明命题.只需要证明CE/AC=EF/CF
注意到角ECF+角ECA=90度并且角ECA+角CAE=90度可知角ECF=角EAC.又角CEF=角AEC=90度.可推出三角形AEC相似于三角形CEF
即可以证明CE/AC=EF/CF
即证明了cos(A-B)=cosAcosB+sinA+sinB
由sinθ=cos(-θ)
得:sin(α+β)=cos[-(α+β)]
=cos[(-α)-β]
=cos(-α)cosβ+sin(-α)sinβ
又∵cos(-α)=sinα
sin(-α)=cosα
∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

证明：
如图所示作单位圆，设∠AOC=α，∠COD=β，则∠AOD=α+β，AO=1
作AB⊥Ox交Ox于B，作AC⊥OC交OC于C，作CE⊥AB交AB于E，作CD⊥Ox交Ox于D
易证△OBF∽△ACF
∴∠COD=∠CAF=β
sin (α+β)
=sin∠AOD
=AB/AO
=AB
=AE+EB
=AE+CD
=AC*cosβ+OC*sinβ
=AO*sinαcosβ+AO*cosαsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
其实就是fkdwn的解答，不过TA有个字母写错了，呵呵……图可以参考fkdwn的。

解：
如图做出单位圆，则sin(a+b)=BN
sina=AM  cosa=OM   sinb=BH   cosb=OH
又sina=HQ/OH=AM  有HQ=AM·OH
又cosa=BP/BH=OM  有BP=OM·BH
则HQ+BP=BN=AM·OH+OM·BH
即sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

证明：
如图所示作单位圆，设∠AOC=α，∠COD=β，则∠AOD=α+β，AO=1
作AB⊥Ox交Ox于B，作AC⊥OC交OC于C，作CE⊥AB交AB于E，作CD⊥Ox交Ox于D
易证△OBF∽△ACF
∴∠COD=∠CAF=β
sin (α+β)
=sin∠AOD
=AB/AO
=AB
=AE+EB
=AE+CD
=AC*cosβ+OC*sinβ
=AO*sinαcosβ+AC*cosαsinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
证毕

先画单位圆 单位圆啊 很简单的
把三角函数都看作向量
则sina*cosb+cosa*sinb
=cos(π/2-a)cosb+sin(π/2-a)sinb
=[cos(π/2-a), sin(π/2-a)]*[cosb, sinb] → 看做两个向量的乘积
=1*1*cos(π/2-a-b) → 两个向量的模的乘积乘以它们的夹角
=cos(π/2-a-b)
=sin(a+b)
所以 得证

高一就会学到了

参考资料：高一必修一课本