已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y

已知函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y

（1）函数f（x）在[-1，1]上单调增，证明如下
由题意，设x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2
则x1-x2＜0
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）?[f（x）+f（y）]＞0．
令x=x1，y=-x2，
∴f（x1）+f（-x2）＜0
∵函数f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴函数f（x）在[-1，1]上单调增；
（2）由（1）知，?1≤x+
1
2 ＜1?2x≤1，解得：0≤x＜
1
6
（3）由于函数f（x）在[-1，1]上单调增，
∴函数f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1）=1
∴f（x）≤m2-2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可转化为：0≤m2-2am对所有a∈[-1，1]恒成立
∴







m2?2m≥0
m2+2m≥0 ，
解得m≥2或m≤-2或m=0

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有 　　f(m)+f(n) 　　m+n ＞0． 　　（1）证明函数f（x）在其定义域上是增函数； 　　（2）解不等式f(x+ 　　1 　　2 )＜f(1-x)． 　　（1）证明：令m=x1，n=-x2，且-1≤x1＜x2≤1， 代入 　　f(m)+f(n) 　　m+n ＞0得 　　f(x1)-f(x2) 　　x1-x2 ＞0． 　　∵x1＜x2 　　∴f（x1）＜f（x2） 　　按照单调函数的定义，可知该函数在[-1，1]上单调递增． （2）由（1）可得原不等式等价于 　　-1≤x+ 　　12≤1-1≤1-x≤1x+ 12＜1-x ∴0≤x＜ 1 4