99! ≡ ? (mod 101)

99! ≡ ? (mod 101)

2
追问：请解释及尽量以通项形式表示

这个题的答案为1，我一步步解释清楚：
（1）设集合S={1,2,3,...,100}，对任意a∈S，存在x∈S，使得ax≡1 (mod 101)
这个x是存在的因为由费马小定理可得a^100≡1 (mod 101)，所以令x≡a^99 (mod 101)即可。
（2）如果对a∈S，有a^2≡1 (mod 101)，可得a^2-1≡0 (mod 101)。
说明101是整除(a-1)(a+1)的，这样的a只有1和100。
（3）由上面两条可知99!=1×(2×51)×(3×34)×...×(50×99)，其中括号里的组合mod 101均为1
所以99!≡1×1×1×...×1≡1 (mod 101)。
证毕。
另外可以用威尔逊定理：(p-1)!≡-1 (mod p)
此题中100!≡-1 (mod 101)
而100≡-1 (mod 101)
说明99!≡1 (mod 101)
▄