函数f（x）=alnx-x+2（a∈R，a≠0）．（1）求f（x）的极值和单调区间；（2）当x≥2时，有f（x）＜0恒成立

函数f（x）=alnx-x+2（a∈R，a≠0）．（1）求f（x）的极值和单调区间；（2）当x≥2时，有f（x）＜0恒成立，求a的取值范围；（3）证明：ln（2n+1）-lnn＞1n（n∈N*）

解答：（1）解：由题意知，函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）=
a
x -1=
a?x
x ，
①当a＜0时，f′（x）＜0，则原函数在（0，+∞）上是减函数，故无极值；
②当a＞0时，由f′（x）=0得x=a，列表如下：

  x      （0，a）      a      （a，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） 增函数 极大值 减函数 由上表知f（x）在（0，a）为增函数，在（a，+∞）上为减函数，
∴f（x）的极大值为f（a）=alna-a+2．
（2）解：∵f（x）=alnx一x+2＜0，且x≥2，∴a＜
x?2
lnx ，
令g（x）=
x?2
lnx （x≥2），
∴g′（x）=
lnx?
1
x (x?2)
(lnx)2 =
lnx+
2
x ?1
(lnx)2 ，令h（x）=lnx+
2
x ?1（x≥2），
则h′（x）=
1
x ? 
2
x2 =
x?2
x2 ≥0，
∴h（x）在[2，+∞]上是增函数，∴h（x）≥h（2）=ln2+
2
2 -1=ln2＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴g（x）的最小值是g（2）=0，
∵当x≥2时，a＜
x?2
lnx 恒成立，
∴a＜0．
（3）证明：要证  ln（2n+1）-lnn＞
1
n  （n∈N*），
只需证     ln
2n+1
n ＞
1
n ，
即证   ln（2+
1
n ） ＞2+
1
n ? 2，
可取a=1，则f（x）=lnx-x+2，且2+
1
n ∈（2，3]，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f（x）在（2，3]上为减函数，
∴f（x）≥f（3）=ln3-3+2=ln3-1＞0，
∴lnx-x+2＞0，即lnx＞x-2，令x=2+
1
n ，（n∈N*），
则ln（2+
1
n ）＞2+
1
n ? 2=
1
n ，
即ln(2n+1)?lnn＞
1
n ，（n∈N*）．

f(x)定义域为(0，+∞) 求导：f’(x)=x+(a/x) ①a＞0时，f’(x)=x+(a/x) ＞0 ， f(x)在(0，+∞)上单调递增 ②a＜0时 f’(x)=x+(a/x) ＞0，x＞-a/x ，x²＞-a，x＞√(-a)，∴f(x)在(√(-a)，+∞)上单调递增 f’(x)=x+(a/x) ≤0，x≤-a/x ，x²≤-a，0＜x≤√(-a)，∴f(x)在(0，√(-a)]上单调递减