证明：矩阵A为Hermite正定矩阵的充分必要条件存在可逆下三角矩阵B,使得A=B*B

证明：矩阵A为Hermite正定矩阵的充分必要条件存在可逆下三角矩阵B,使得A=B*B

充分性:.
首先易知B*B为Hermite矩阵.
又对任意向量X, X*(B*B)X = (BX)*·BX = ||BX||² ≥ 0.
等号成立当且仅当BX = 0, 而B可逆, 故BX = 0当且仅当X = 0.
于是B*B是正定Hermite矩阵.
注: 其实充分性只用到B可逆.

必要性:
由A为Hermite矩阵, 存在酉矩阵U, 使C = U*AU为实对角矩阵.
又A正定, 故C的对角元均为正实数, 存在对角线均为正实数的对角矩阵D使C = D².
则A = UCU* = UD²U* = (DU*)*(DU*), 即存在可逆矩阵S = DU*, 使A = S*S.

设S的列向量依次为α[1], α[2], ..., α[n-1], α[n].
由S是可逆矩阵, α[1], α[2], ..., α[n-1], α[n]构成n维复向量空间的一组基.
对α[n], α[n-1],..., α[2], α[1]使用Schimdt正交化过程, 可得一组酉正交基:
β[n] = α[n], β[n-1] = α[n-1]-(α[n-1],β[n])/(β[n],β[n])·β[n],...
再单位化取γ[k] = β[k]/||β[k]||, k = 1, 2,..., n即得一组单位酉正交基.
以γ[1], γ[2], ..., γ[n-1], γ[n]为列向量的矩阵记为Q.
则Q为酉矩阵, 且由Q的构造过程, 有Q = ST, 其中T是可逆下三角矩阵.
于是B = T^(-1)也为可逆下三角矩阵, 且有S = QB.
代回得A = S*S = (QB)*QB = B*Q*QB = B*B, 即得必要性.

注: 必要性的后半部分其实是在证明QR分解的某种变形(QL分解).