怎样比较ln2/2和lnπ/π的大小？
答案:1 悬赏:70
解决时间 2021-12-28 21:51
- 提问者网友：千城墨白
- 2021-12-27 21:06
怎样比较ln2/2和lnπ/π的大小？
最佳答案
- 二级知识专家网友：温柔刺客
- 2021-12-27 21:26
由於y=lnx的单调性,只要比较2^(1/2)与π^(1/π)大小即可
作辅助函数y=x^(1/x),x>0
两边取对数得lny=lnx/x
对x求导,得y'/y=(1-lnx)/x²
令y'=0,得x=e
当x>e时,由於y/x²>0,1-lnx<0,∴y'<0;当00
∴在(0,e)上函数单调递增,[e,+∞)上函数单调递减
又∵√2=2^(1/2)=4^(1/4)<π^(1/π),∴ln2/2
作辅助函数y=x^(1/x),x>0
两边取对数得lny=lnx/x
对x求导,得y'/y=(1-lnx)/x²
令y'=0,得x=e
当x>e时,由於y/x²>0,1-lnx<0,∴y'<0;当0
∴在(0,e)上函数单调递增,[e,+∞)上函数单调递减
又∵√2=2^(1/2)=4^(1/4)<π^(1/π),∴ln2/2
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