奇函数，x>0时，f(x)=(x-2)lnx,任意x1,x2,|f（x1）-f（x2）|≤2？

奇函数，x>0时，f(x)=(x-2)lnx,任意x1,x2,|f（x1）-f（x2）|≤2？

这类题目是对数型函数
（1）证明:由题意知，令x1=1，x2=2，∴f（2）=f（1）＋f（2），∴f（1）=0
令x1=x2=﹣1，则f（1）=2f（﹣1）=0 ， ∴f（﹣1）=0
令x1=x，x∈（﹣∞，0）∪（0，﹢∞），x2=﹣1，则﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，﹢∞）
∴f（﹣x）=f（x·﹙﹣1﹚）=f（x）＋f（﹣1）=f（x）＋0=f（x）
即：f（﹣x）=f（x）
定义域（﹣∞，0）∪（0，﹢∞）显然是关于原点对称的。
∴f（x）为偶函数。
............................................................
(2)证明：（定义法）
令x1、x2∈（0，﹢∞），且x1＜x2，则x2／x1＞1
又x＞1时，f（x）＞0， ∴f（x2／x1）＞0
∴f（x2）－f（x1）
=f【（x2／x1）·x1】－f（x1）
=f（x2／x1）＋f（x1）－f（x1）
=f（x2／x1）＞0
即：f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在（0，﹢∞）上为增函数。
3、解：∵不等式f(2x²－1)＜2满足2x²－1≠0，∴x≠±√2／2
又2=f（2）＋f（2）=f（4）
∴f(2x²－1)＜f（4）
又f（x）在（0，﹢∞）上为增函数且f（x）为偶函数，
∴由偶函数在对称区间的单调性是相反的知，f（x）在（﹣∞，0上为减函数。
∴某点到y轴的距离越大，则该点的函数值越大
∴|2x²－1|＜|4|，（看成到y轴的距离，距离越大，函数值越大）
即：|2x²－1|＜4
∴﹣4＜2x²－1＜4
∴﹣3＜2x²＜5
∴0≤x²＜5／2
∴﹣√10／2＜x＜√10／2，又x≠±√2／2
∴﹣√10／2＜x＜√10／2且x≠±√2／2
∴不等式的解集为{ x | ﹣√10／2＜x＜﹣√2／2或﹣√2／2＜x＜√2／2或√2／2＜x＜√10／2}