二阶偏导数的几何意义

二阶偏导数的几何意义

下面的说法是个人研究，不敢保证绝对正确，仅供大家参考。
首先一阶偏导，以z=f(x,y)为例，是固定一个元的值，专门以研究另外两个元的变化关系，与物理的控制变量法相似。原本函数f代表了一个曲面，当一个元比如y固定的时候，就会在曲面上截出一条曲线，所以z=f(x,y0)就代表了这条曲线，如图：



蓝色实线就是这条曲线，此时若对其求导，就是求这条曲线的导函数，即一阶偏导fx(x,y0)。
而一阶偏导即这个曲线的导函数，是一条新曲线。
二阶偏导数，就是建立在这个新曲线的基础之上。
若不是混合偏导数，比如fxx(x,y),就是对x再求一次导，即导函数的导函数，即蓝实线的导函数。
若是混合偏导数，比如fxy(x,y),首先,当我们先求出一阶偏导fx(x,y0)后，接下来就要对y求导了吧？而按照求一阶偏导的规矩,应该先固定那个不研究的元，在这里即固定x，而对y的固定这时应该解固了，就是说，原本的蓝实线的导函数(一阶偏导)就不再有y0固定它了，意味着这个新曲线可以按照y轴的伸展方向无限延展，从而形成一个新的曲面，如图：



即黑色平面，同时由于x的固定，又会截出一条曲线，即粉实线。固定之后求导，即二阶混合偏导数，即粉实线的导数。
而二阶偏导数之所以没有出现x0,y0等字眼，我想应该是因为x等先固定又解固，无法准确的用一个x0代表两个相反过程。而二阶非混合偏导数，其中一个元一直是固定的，我想应该是可以写成y0或是x0，不过被省略了，在求导过程中把这些被固定的x,y当成常数来处理也证实了这一点。
以上的说法仅是个人的研究，不敢说是绝对正确，只是希望自己的见解能够帮到大家，给大家一点参考作用而已，非常欢迎大家能帮我指正其中的错误与不足，谢谢。

对x的偏导，是曲线在点处的切线对x轴的斜率； 对y的偏导，是曲线在点处的切线对y轴的斜率；

意义如下： （1）斜线斜率变化的速度 （2）函数的凹凸性。 关于你的补充： 二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。 应用： 如果一个函数f(x)在某个区间i上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间i上的任意x,y，总有： f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。 几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间i上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间i上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。